Question

5．用坐标法证明：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和．

Answer 1

分析 以顶点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，利用两点间的距离公式，即可证明．

解答 证明：如图，以顶点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A（0，0）．
设B（a，0），D（b，c），由平行四边形的性质得点C的坐标为（a+b，c），
因为|AB|²=a²，|CD|²=a²，|AD|²=b²+c²，|BC|²=b²+c²，|AC|²=（a+b）²+c²，|BD|²=（b-a）²+c²，
所以|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=2（a²+b²+c²），
|AC|²+|BD|²=2（a²+b²+c²）．
所以|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=|AC|²+|BD|²．
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．

点评 本题考查坐标法的运用，考查两点间的距离公式，属于中档题．