Question

13．已知函数f（x）=x-e${\;}^{\frac{x}{a}}$（a＞0）有两个相异零点x₁、x₂，且x₁＜x₂，求证：$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{e}{a}$．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，得到函数的单调区间，再由已知可得a＞e，进一步得到x₁＜a＜alna＜x₂，然后利用放缩法证得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{e}{a}$．

解答 证明：f′（x）=1-$\frac{1}{a}{e}^{\frac{x}{a}}$，
由f′（x）＞0，得x＜alna，由f′（x）＜0，得x＞alna，
∴f（x）在（-∞，alna）上单调递增，在（alna，+∞）上单调递减，
∴f（x）在x=alna处取得极大值，且为最大值等于f（alna）=alna-a．
由函数f（x）=x-e${\;}^{\frac{x}{a}}$（a＞0）有两个相异零点x₁、x₂，可得alna-a＞0，
即a＞e．
∵f（a）=a-e＞0，
∴x₁＜a＜alna＜x₂，
∴${x}_{2}-{x}_{1}＞alna-a=-aln\frac{e}{a}$，
即${x}_{1}-{x}_{2}＜aln\frac{e}{a}$，
则$\frac{1}{a}（{x}_{1}-{x}_{2}）$$＜ln\frac{e}{a}$，
∵${x}_{1}={e}^{\frac{{x}_{1}}{a}}$，${x}_{2}={e}^{\frac{{x}_{2}}{a}}$，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{e}^{\frac{{x}_{1}}{a}}}{{e}^{\frac{{x}^{2}}{a}}}={e}^{\frac{1}{a}（{x}_{1}-{x}_{2}）}$$＜{e}^{ln\frac{e}{a}}=\frac{e}{a}$．

点评 本题考查导数在最大值与最小值中的应用，考查利用导数证明函数不等式，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．