Question

15．在△ABC中，|$\overrightarrow{BC}$|=4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，则顶点A的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x＞$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由题意画出图形，由图可知∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，即点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（y≠0），顶点A的轨迹方程可求．

解答 解：如图，
设E、F分别为圆与AB、AC的两个切点，
则|BE|=|BD|，|CD|=|CF|，
又|AE|=|AF|，
∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，
∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（y≠0），
且a=$\sqrt{2}$，c=2，
∴b=$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x＞$\sqrt{2}$）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x＞$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了双曲线的定义与平面几何知识在求解圆锥曲线问题中的应用问题，是综合题．