Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n 且S_n=2n²，数列{b_n}的前n项和是T_n且T_n+

1

2

bn=1．n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=

1

4

an•bn，求数列{c_n}的前n项和M_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求a_n；
（2）由T_n=1-

1

2

bn，①得n≥2时，Tn-1=1-

1

2

bn-1②，两式相减可得数列递推式，根据递推式及等比数列的定义可得结论；
（3）易求c_n，利用错位相减法可求M_n．

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-2；
又n=1时，a₁=S₁=2，
∴a_n=4n-2，n∈N^*；
（2）由于T_n=1-

1

2

bn，①
令n=1得b1=1-

1

2

b1，解得b1=

2

3

，当n≥2时，Tn-1=1-

1

2

bn-1②，
①-②得bn=

1

2

bn-1-

1

2

bn，∴bn=

1

3

bn-1．
又b1=

2

3

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

3

，
∴数列{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列；
（3）由（2）可得bn=

2

3n

，
c_n=

1

4

an•bn=

1

4

(4n-2)•

2

3n

=

2n-1

3n

，
M_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

①，

1

3

Mn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-1

3n+1

②，
①-②得

2

3

Mn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=2×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

1

3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴Mn=1-

n+1

3n

．

点评：该题考查等差数列、等比数列的通项公式、数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．