题目内容

求证：“0＜a＜
1
3
”是命题“一元二次方程ax2-2x+3=0有两个同号且不等的实根”的充要条件．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题：简易逻辑
分析：根据一元二次方程ax2-2x+3=0有两个同号且不等的实根，运用根与系数的关系得出；
△=4-12a＞0
3
a
＞0
a≠0
求解即可．
解答： 证明：必要性：∵一元二次方程ax2-2x+3=0有两个同号且不等的实根，
∴
△=4-12a＞0
3
a
＞0
a≠0
，求解得出：0＜a＜
1
3
，
∴根据必要条件的定义得出：：“0＜a＜
1
3
”是命题“一元二次方程ax2-2x+3=0有两个同号且不等的实根”的必要条件，
充分性：∵“0＜a＜
1
3
”，
∴
△=4-12a＞0
3
a
＞0
a≠0
，
即：一元二次方程ax2-2x+3=0有两个同号且不等的实根
∴“0＜a＜
1
3
”是命题“一元二次方程ax2-2x+3=0有两个同号且不等的实根”的充分条件，
故：：“0＜a＜
1
3
”是命题“一元二次方程ax2-2x+3=0有两个同号且不等的实根”的充要条件．
点评：本题考查了充分必要条件的定义，二次函数与二次方程的根的关系，属于容易题．
练习册系列答案
相关题目
方程log4（3x-1）=log4（x-1）+log4（3+x）的解是
 
．
下列结论正确的是（　　）
A、若向量
a
∥
b
，则存在唯一的实数λ使 
a
=λ
b
B、已知向量
a
，
b
为非零向量，则“
a
，
b
的夹角为钝角”的充要条件是“
a
•
b
＜0”
C、若命题 p：?x∈R，x2-x+1＜0，则?p：?x∈R，x2-x+1＞0
D、“若 θ=
π
3
，则 cosθ=
1
2
”的否命题为“若 θ≠
π
3
，则 cosθ≠
1
2
”
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosA=
10
10
，cosB=
5
5
．
（1）求cos（A+B）的值；
（2）若b=4，求△ABC的面积．
已知x＞1，函数y=
x2
x-1
的最小值为
 
．
已知-
π
4
≤x≤
π
3
，y=tan2x-2tanx+2．求函数的最大值和最小值，并求出相应的x的值．
下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件？
（1）若b2=ac，则a、b、c成等比数列；
（2）若有且只有一个实数λ，是
a
=λ
b
，则
a
∥
b
；
（3）若l∥α，则直线l与平面α所成的较大小为0°；
（4）若函数f（x）=ax（a＞0且a≠1），则f（x）是单调增函数．
若{1}⊆A⊆{1，2，3}，则这样的集合A有（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
满足（
1
3
）x＞
39
的实数x的取值范围为
 
．

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