Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosA=

10

10

，cosB=

5

5

．
（1）求cos（A+B）的值；
（2）若b=4，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）由同角三角函数基本关系可得sinA=

3 10

10

，sinB=

2 5

5

，而cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，代值计算可得；
（2）易得sinC=sin（A+B）=

2

2

，由正弦定理可得a=

bsinA

sinB

=3

2

，代入面积公式S=

1

2

absinC计算可得．

解答： 解：（1）∵cosA=

10

10

，cosB=

5

5

，∴A、B均为锐角，
∴sinA=

1-cos2A

=

3 10

10

，sinB=

1-cos2B

=

2 5

5

，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
=

10

10

×

5

5

-

3 10

10

×

2 5

5

=-

2

2

（2）由（1）知cos（A+B）=-

2

2

且A、B均为锐角，
∴sinC=sin（A+B）=

1-cos2(A+B)

=

2

2

由正弦定理可得

b

sinB

=

a

sinA

，
∴a=

bsinA

sinB

=

4× 3 10 10

2 5 5

=3

2

，
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×3

2

×4×

2

2

=6

点评：本题考查两角和与差的余弦公式，涉及正弦定理和三角形的面积公式，属基础题．