题目内容
已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且b（3b-c）cosA=
•
．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为2
，并且边AB上的中线CM的长为
，求b，c的长．
| CA |
| CB |
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为2
| 2 |
| ||
| 2 |
考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,余弦定理
专题：计算题,解三角形,平面向量及应用
分析：（1）运用向量的数量积的定义，以及正弦定理和诱导公式，化简即可得到cosA；
（2）由三角形的面积公式，以及余弦定理，解关于b，c的方程，即可得到．
（2）由三角形的面积公式，以及余弦定理，解关于b，c的方程，即可得到．
解答：
解：（1）b（3b-c）cosA=
•
即为
b（3b-c）cosA=bacosC，
即有3bcosA=ccosA+acosC，
由正弦定理可得，
3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，
即有cosA=
；
（2）由cosA=
，可得sinA=
=
，
则三角形的面积S=
bcsinA=2
，
即bc=6，
在△ACM中，CM2=b2+
-2b•
cosA，
即为
=b2+
-2，即b2+
=
，
解得b=2，c=3．或b=
，c=4．
| CA |
| CB |
b（3b-c）cosA=bacosC，
即有3bcosA=ccosA+acosC，
由正弦定理可得，
3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，
即有cosA=
| 1 |
| 3 |
（2）由cosA=
| 1 |
| 3 |
1-
|
2
| ||
| 3 |
则三角形的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
即bc=6，
在△ACM中，CM2=b2+
| c2 |
| 4 |
| c |
| 2 |
即为
| 17 |
| 4 |
| c2 |
| 4 |
| c2 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
解得b=2，c=3．或b=
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，考查化简运算的能力，属于基础题．
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-
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| ||
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| ||||
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|