题目内容
若f（x）=2+log2x，x∈[1，4]，则y=（f（x））2+f（x2）的最大值为 ．
考点：对数函数的图像与性质,对数的运算性质
专题：函数的性质及应用
分析：换元转化y=t2+6t+4，t∈[0，2]根据二次函数性质求解．
解答：
解：∵f（x）=log2x+2，x∈[1，4]，
∴y=[f（x）]2+f（x2）=（log2x+2）2+2log2x=（log2x）2+6log2x+4
设t=log2x则t∈[0，2]
∴y=t2+6t+4=（t+3）2-5，
∴y=t2+6t+4在[0，2]为增函数，
当t=2时，y有最大值，
∴ymax=4+12+4=20
故答案为：20
∴y=[f（x）]2+f（x2）=（log2x+2）2+2log2x=（log2x）2+6log2x+4
设t=log2x则t∈[0，2]
∴y=t2+6t+4=（t+3）2-5，
∴y=t2+6t+4在[0，2]为增函数，
当t=2时，y有最大值，
∴ymax=4+12+4=20
故答案为：20
点评：本题考察了对数函数的性质，二次函数的性质，换元法求解最大值问题，属于中档题．
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