Question

14．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示
（1）求f（x）的表达式；
（2）已知函数y=f（x）-a在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点x₁，x₂，求x₁•x₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=a在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个交点，数形结合求得a的范围，可得x₁•x₂的取值范围．

解答 解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）
的图象可得2sinφ=1，sinφ=$\frac{1}{2}$，
∴可取φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）．
再根据五点法作图可得ω•$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{6}$=2π，∴ω=2，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）已知函数y=f（x）-a在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有
两个零点x₁，x₂，
即函数f（x）的图象和直线y=a在区间[0，$\frac{π}{2}$]
上有两个交点，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得t=2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，故a∈[1，2）．
数形结合可得，t₁ ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），t₂ ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，
故x₁∈[0，$\frac{π}{6}$），x₂ ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，故 0＜x₁•x₂，≤$\frac{{π}^{2}}{18}$．
再根据$\frac{1}{2}$（t₁+t₂ ）=$\frac{π}{2}$，即 （2x₁+$\frac{π}{6}$ ）+（2x₂+$\frac{π}{6}$）=π，即 x₁+x₂ =$\frac{π}{3}$＞2$\sqrt{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
∴x₁•x₂，＜$\frac{{π}^{2}}{36}$．
综上可得，x₁•x₂的取值范围为（0，$\frac{{π}^{2}}{36}$ ）．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由特殊点的坐标求出ω的值，由五点法作图求出ω的值． 方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．