Question

6．已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|x²-4ax+3a²＜0}．
（1）若a=-1，求A∩（∁_RB）；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 化简集合A、B，求出（1）a=-1时，集合B以及∁_RB，计算A∩（∁_RB）即可；
（2）讨论a的值，求出对应的集合B，以及A∩B=∅成立时a的取值范围．

解答 解：集合A={x|x²-6x+8＜0}={x|（x-2）（x-4）＜0}={x|2＜x＜4}，
B={x|x²-4ax+3a²＜0}={x|（x-a）（x-3a）＜0}；
（1）当a=-1时，B={x|-3＜x＜-1}，
∴∁_RB={x|x≤-3或x≥-1}，
∴A∩（∁_RB）={x|2＜x＜4}；
（2）①当a=0时，集合B=∅，A∩B=∅成立，∴a=0；
②当a＞0时，集合B={x|a＜x＜3a}，
要使A∩B=∅成立，则有3a≤2或a≥4，
解得a≤$\frac{2}{3}$或a≥4，即0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥4；
③当a＜0时，集合B={x|3a＜x＜a}，
要使A∩B=∅，则有3a≥4或a≤2，
解得a≥$\frac{4}{3}$或a≤2，即a＜0；
综上，实数a的取值范围是{a|a≤$\frac{2}{3}$或a≥4}．

点评 本题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合间的包含关系判断及应用，也考查了分类讨论思想的应用问题，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．