Question

在数列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a为常数），若平面上的三个不共线的非零向量

OA

，

OB

，

OC

满足

OC

=

a1

2

OA

+

a2013

2

OB

，三点A，B，C共线且该直线不过点O，则S₂₀₁₃的值为

 

．

Answer 1

考点：数列与向量的综合

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：由向量式可得a₁+a₂₀₁₃=2，由可得数列为等差数列，再由等差数列的前n项和公式能够求出S₂₀₁₃．

解答： 解：∵

OC

=

a1

2

OA

+

a2013

2

OB

，且三点A，B，C共线，
∴必有a₁+a₂₀₁₃=2，又a_n+1=a_n+a，所以a_n+1-a_n=a为常数，
故数列{a_n}为等差数列，故S₂₀₁₃=

2013(a1+a2013)

2

=2013
故答案为：2013．

点评：本题考查向量和数列的综合运用，解题时要认真审题，注意A、B、C三点共线的充要条件是：对平面内任意一点O，都有

OC

=m

OA

+（1-m）

OB

，解题的关键是由

OC

=

a1

2

OA

+

a2013

2

OB

，且A、B、C共线，知a₁+a₂₀₁₃=2．