Question

已知数列{a_n}满足a₁=0且S_n+1=2S_n+

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2

n（n+1），（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，a₃，并证明：a_n+1=2a_n+n，（n∈N^*）；
（Ⅱ）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求证：b_n+1=2b_n+1；
（Ⅲ）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a₁=0且S_n+1=2S_n+

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n（n+1），代入计算，可得a₂，a₃，n≥2时，a_n+1=S_n+

1

2

n（n+1），a_n=S_n-1+

1

2

n（n-1），两式相减，即可得出结论；
（Ⅱ）利用a_n+1=2a_n+n，结合b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），即可证明：b_n+1=2b_n+1；
（Ⅲ）利用叠加法，即可求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=0且S_n+1=2S_n+

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2

n（n+1），
∴S₂=2S₁+1，
∴a₂=1，
同理可得，a₃=4；
∵S_n+1=2S_n+

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2

n（n+1），
∴a_n+1=S_n+

1

2

n（n+1），①
∴n≥2时，a_n=S_n-1+

1

2

n（n-1），②
①-②：a_n+1-a_n=a_n+n，
∴a_n+1=2a_n+n，n=1时也成立；
（Ⅱ）∵a_n+1=2a_n+n，
∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）+1，
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n+1=2b_n+1；
（Ⅲ）∵b_n+1=2b_n+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∴数列{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n=2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=0+2+…+2^n-1=

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ-2．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的求和，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．