Question

已知A，B，C为锐角△ABC的三个内角，向量

m

=（2-2sinA，cosA+sinA），

n

=（1+sinA，cosA-sinA），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求下列函数：y=2sin²B+cos（

2π

3

-2B）的值域．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）先利用

m

⊥

n

得，

m

•

n

=0，再利用数量积定义得到关于A的方程，化简得到cosA=

1

2

，结合A的范围确定出A的值；
（2）利用三角变换将y=2sin²B+cos（

2π

3

-2B）化简成形如y=Asin（ωx+θ）+C的形式，再借助于换元思想求解，注意如何利用A的范围求出B的范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为

m

⊥

n

，
所以（2-2sinA，cosA+sinA）•（1+sinA，cosA-sinA）=0，
即（2-2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA-sinA）=0
化简得2（1-sin²A）=sin²A-cos²A
即2cos²A=1-2cos²A，
cos²A=

1

4

，又因为△ABC是锐角三角形
∴cosA=

1

2

∴A=

π

3

．
（Ⅱ）因为△ABC是锐角三角形，且A=

π

3

，
∴

π

6

＜B＜

π

2

∴y=2sin²B+cos（

2π

3

-2B）
=1-cos2B-

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=

3

2

sin2B-

3

2

cos2B+1
=

3

sin（2B-

π

3

）+1
又∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴0＜2B-

π

3

＜

2π

3

，
∴0＜sin(2B-

π

3

)≤1
∴y∈(1，1+

3

]

点评：这是一道三角形中的三角函数化简求值（或值域）问题，以平面向量的数量积为载体考查三角变换方法，要注意化归思想在解题中的应用，即最终都化成形如y=Asin（ωx+θ）+C的形式来求解．