Question

求曲线y=2x-x³过点A（1，1）的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：设出切点，求出导数，求出切线的斜率，以及切线方程，由于A在直线上，得到方程，求出解，即可得到切线方程．

解答： 解：设切点为P(x0，2x0-

x

3 0

)，又y'=2-3x²，
所以切线斜率为y′|x=x0=2-3

x

2 0

，
则曲线在P点的切线方程为y-(2x0-

x

3 0

)=(2-3

x

2 0

)(x-x0)．
又A（1，1）在切线上，于是就有1-(2x0-

x

3 0

)=(2-3

x

2 0

)(1-x0)，
即2

x

3 0

-3

x

2 0

+1=0，
解得x₀=1或x0=-

1

2

；
当x₀=1时，切点就是A（1，1），切线为x+y-2=0；
当x0=-

1

2

时，切点就是P(-

1

2

，-

7

8

)，切线斜率为y′|x=-

1

2

=

5

4

，
切线为5x-4y-1=0．
故切线方程为：x+y-2=0或5x-4y-1=0．

点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，解题应注意在某点处和过某点的区别，属于易错题．