Question

已知函数f（x）=x²lnx，
（1）求f（x）的极值；
（2）记D={x|f（x）＞e²}，求当x∈D时，G（x）=

lnx

lnf(x)

的值域．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）确定函数的定义域并求导，从而确定极小值；（2）化简集合D，利用换元法求函数的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
令f′（x）=x（2lnx+1）=0解得，x=

1

e

．
在x=

1

e

附近，左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，
则f（x）在x=

1

e

上取得极小值-

1

2e

．
（2）D={x|f（x）＞e²}={x|x＞e}，
令lnx=t（t＞1），则lnf（x）=2t+lnt，
G（x）=

lnx

lnf(x)

=

t

2t+lnt

=

1

2+ lnt t

，
令H（t）=

lnt

t

，（t＞1）
则H′（t）=

1-lnt

t2

，
则H（t）在（1，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减；
则H（t）≤H（e）=

1

e

，
则2+

lnt

t

≤

2e+1

e

，
则

1

2+ lnt t

＜0或

1

2+ lnt t

≥

e

2e+1

，
即G（x）的值域为（-∞，0）∪[

e

2e+1

，+∞）．

点评：本题考查了导数的应用，注意函数的定义域；利用换元法求值域时要注意其取值范围．