题目内容
已知a＞0且a≠1，设p：函数y=an在x∈（0，+∞）内单调递减；q：曲线y=x2+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p和q有且仅有一个为真，求a的取值范围．
考点：复合命题的真假
专题：函数的性质及应用,简易逻辑
分析：先求出命题p，q下的a的取值，然后根据p，q有一个为真得：p真q假，和p假q真，求出这两种情况下的a的取值，求并集即可．
解答：
解：p：函数y=an在x∈（0，+∞）内单调递减；
∴0＜a＜1；
q：曲线y=x2+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点；
∴△=（2a-3）2-4＞0，解得a＞
，或0＜a＜
；
∵p和q有且仅有一个为真；
∴若p真q假：
，解得
≤a＜1；
若p假q真：
，解得a＞
；
∴a的取值范围为[
，1)∪(
，+∞)．
∴0＜a＜1；
q：曲线y=x2+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点；
∴△=（2a-3）2-4＞0，解得a＞
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∵p和q有且仅有一个为真；
∴若p真q假：
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若p假q真：
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∴a的取值范围为[
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点评：考查指数函数的单调性，二次函数的零点个数和判别式△的关系，集合的交集与并集，不要忘了a＞0的条件．
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