Question

已知函数f（x）=e^x-（a+1）x（a∈R）
（1）当x＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若x∈R，f（x）≥b（b∈R）恒成立，求（a+1）b的值域．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=e^x-（a+1）；讨论导数的正负以确定函数的单调性；
（2）求导f′（x）=e^x-（a+1）；从而化恒成立问题为最值问题，从而可得（a+1）b≤（a+1）²（1-ln（a+1））；令a+1=x，则x＞0；则（a+1）²（1-ln（a+1））=x²（1-lnx），令F（x）=x²（1-lnx），从而求导确定函数的取值范围，从而求（a+1）b的值域．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-（a+1）；
①当a≤0时，∵x＞0，
∴f′（x）=e^x-（a+1）＞1-a-1≥0；
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，解f′（x）=e^x-（a+1）＞0得，
x＞ln（a+1）；
故f（x）在（0，ln（a+1））上是减函数，
在（ln（a+1），+∞）上是增函数；
（2）f′（x）=e^x-（a+1）；
若a＜-1，则f′（x）=e^x-（a+1）＞0恒成立；
故f（x）=e^x-（a+1）x在R上是增函数，
故不可能有f（x）≥b（b∈R）恒成立；
若a=-1；则（a+1）b=0；
若a＞-1，则令f′（x）=e^x-（a+1）=0解得：x=ln（a+1）；
则f（x）=e^x-（a+1）x在（-∞，ln（a+1））上是减函数，
在（ln（a+1），+∞）上是增函数；
故f_min（x）=f（ln（a+1））=（a+1）-（a+1）ln（a+1）；
故b≤（a+1）-（a+1）ln（a+1）；
（a+1）b≤（a+1）²（1-ln（a+1））；
令a+1=x，则x＞0；
则（a+1）²（1-ln（a+1））=x²（1-lnx），
令F（x）=x²（1-lnx），
则F′（x）=2x（1-lnx）-x²

1

x

=x（1-2lnx）；
故F（x）=x²（1-lnx）在（0，

e

）上是增函数，
在（

e

，+∞）上是减函数；
故F（x）≤F（

e

）=

e

2

；
故（a+1）b的值域为（-∞，

e

2

]．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，属于难题．