Question

设函数f（x）=k（x-

1

x

）-lnx，k∈R．
（Ⅰ）若f（x）与x轴相切于点（1，f（1），求f（1））的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在其定义域内为单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）x轴为切线时斜率k=0，故f′（1）=0，可求出k；
（2）定义域为（0，+∞），f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

，当k≤0时，f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

＜0恒成立，此时函数f（x）单调递减，满足条件；
当k＞0时，f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

=

kx2-x+k

x2

，由于抛物线y=kx²-x+k开口向上，要使原函数单调，只有使kx²-x+k≥0在x＞0恒成立，再求最值解决．

解答： 解：（1）∵x轴为切线，∴斜率k=0，∴f′（1）=0，
f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

，∴f′（1）=2k-1=0，∴k=

1

2

∴f（x）=

1

2

(x-

1

x

)-lnx
（2）定义域为（0，+∞）
f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

，
当k≤0时，f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

＜0恒成立，此时函数f（x）单调递减，满足条件；
当k＞0时，f′（x）=k（1+

1

x2

）-

1

x

=

kx2-x+k

x2

，由于抛物线y=kx²-x+k开口向上，要使原函数单调，只有使kx²-x+k≥0在x＞0恒成立，
∵kx²-x+k≥0?k≥

x

x2+1

，∴只要使k≥

x

x2+1

的最大值即可，
∵

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2 x• 1 x

=

1

2

，∴k≥

1

2

，
综上：k≤0，或k≥

1

2

点评：本题主要考查函数的性质即应用，其中利用导数研究函数的单调性时常用的方法，属于中档题．