Question

函数f（x）=ax+

b

x

（a，b∈R），下列命题：
①当a＞0，b＞0时，对函数f（x）图象上任意一点A，图象上存在唯一的点B，使得tan∠AOB=

1

a

（O是坐标原点）；
②当ab≠0时，函数f（x）图象上任意一点的切线与直线y=ax及y轴围成的三角形面积是定值．
正确的是：

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：对于①不妨令y=x+

1

x

，此时a=1，然后由x+

1

x

-x=

1

x

，当x→+∞时，

1

x

→0，可知y=x是函数y=x+

1

x

的渐近线；由此进一步可以判断该命题为假；
对于②先表示出任意一点处切线的方程，然后求出该切线与y=ax，y轴的交点，则三角形的三个交点可以求出，面积可求．

解答： 解：对于①：令f（x）=x+

1

x

，则再令g（x）=x，则f（x）-g（x）=

1

x

，
当x→+∞时，

1

x

→0，
∴g（x）=x是函数y=x+

1

x

的渐近线，做出函数f（x）的图象如下：

此时可以看出，在函数f（x）图象上任取两点A，B，∠AOB＜

π

4

或∠AOB＞

3π

4

π，
∴tan∠AOB＞1或-1＜tan∠AOB＜0，即此时不存在这样的两点A，B，使得tan∠AOB=

1

a

=1，故①为假命题；
对于②，由题意设切点为（x0，ax0+

b

x0

），y′=a-

b

x2

，
∴切线方程为y-（ax₀+

b

x0

）=（a-

b

x02

）（x-x₀），
直线y=ax，联立得交点为（2x₀，2ax₀），
令x=0得切线与y轴交点为（0，

2b

x0

），原点为（0，0），
∴围成的三角形面积为

1

2

•

2b

x0

•2ax₀=2ab是定值，
∴②是真命题．
故答案为：②．

点评：本题考查了函数的图象，考查了导数在研究函数的极值、切线中的应用，体现了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，有一定难度．