Question

已知函数f(x)=

x

ex

(x∈R)，g(x)=

(2-x)ex

e2

（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，函数y=g（x）的图象恒在函数y=f（x）的图象下方；
（Ⅲ）若k＞0，求不等式f′（x）-k（1-x）f（x）＜0的解集．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对函数f（x）进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间，从而可求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=

x

ex

+

(x-2)ex

e2

，证明x＞1时，F′（x）＞0，函数单调递增，可得F（x）＜F（1）=0，即可证明结论；
（Ⅲ）将f'（x）代入不等式，再分类讨论即可求解．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=

x

ex

，∴f′（x）=

(x-1)ex

x2

，
由f'（x）=0，得x=1，
∵当x＜0时，f'（x）＜0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0；
∴f（x）的单调增区间是：[1，+∞）；单调减区间是：（-∞，0），（0，1]，
∴x=1时，函数取得极大值f（1）=

1

e

；
（Ⅱ）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=

x

ex

+

(x-2)ex

e2

，则F′（x）=

(x-1)(e2x-e2)

ex+2

，
∵x＞1，∴x-1＞0，e^2x-e²＞0，
∴x＞1时，F′（x）＞0，函数单调递增，
∴F（x）＜F（1）=0，
∴f（x）-g（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴当x＞1时，函数y=g（x）的图象恒在函数y=f（x）的图象下方；
（Ⅲ）解：由f'（x）+k（1-x）f（x）=

(x-1)(-kx+1)ex

x2

＞0，
得：（x-1）（kx-1）＜0，
故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜

1

k

}；
当k=1时，解集是：∅；
当k＞1时，解集是：{x|

1

k

＜x＜1}．

点评：本小题主要考查函数、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程的思想，数形结合的思想，化归与转化思想．