题目内容
已知向量
=（2cosx+2
sinx，1），向量
=（cosx，-y），x，y∈R．
（1）若
∥
，且y=1，求tan（x+
）的值；
（2）若
⊥
，设y=f（x），求函数f（x）的单调增区间．
| m |
| 3 |
| n |
（1）若
| m |
| n |
| π |
| 6 |
（2）若
| m |
| n |
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,数量积判断两个平面向量的垂直关系,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）利用向量共线的坐标表示列式求得tanx=-
．然后利用两角和的正切公式展开求值；
（2）由向量垂直的坐标表示列式得到函数y=f（x）的解析式，然后利用复合函数的单调性求函数f（x）的单调增区间．
| ||
| 2 |
（2）由向量垂直的坐标表示列式得到函数y=f（x）的解析式，然后利用复合函数的单调性求函数f（x）的单调增区间．
解答：
解：（1）
=（2cosx+2
sinx，1），
=（cosx，-y），
∵
∥
，且y=1，
∴2cosx+2
sinx=-cosx，
即tanx=-
．
∴tan（x+
）=
=
=-
；
（2）∵
⊥
，
∴
•
=0，得2cos2x+2
sinxcosx-y=0，
即y=f(x)=1+cos2x+
sin2x=2sin(2x+
)+1．
由-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，k∈Z，
得kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z．
故f（x）的单调增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z．
| m |
| 3 |
| n |
∵
| m |
| n |
∴2cosx+2
| 3 |
即tanx=-
| ||
| 2 |
∴tan（x+
| π |
| 6 |
tanx+tan
| ||
1-tanx•tan
|
-
| ||||||||
1-(-
|
| ||
| 9 |
（2）∵
| m |
| n |
∴
| m |
| n |
| 3 |
即y=f(x)=1+cos2x+
| 3 |
| π |
| 6 |
由-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
得kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
故f（x）的单调增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
点评：平行问题及垂直问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若
=（a1，a2），
=（b1，b2），则
⊥
?a1a2+b1b2=0，
∥
?a1b2-a2b1=0．是基础题．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
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| A、（0，1） |
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