Question

9．已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）
（1）求实数a、b的值；
（2）若不等式$f（{log_2}k）＞f（\frac{3}{2}）$成立，求实数k的取值范围；
（3）对于任意满足p=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=q（n∈N，n≥3）的自变量x₀，x₁，x₂，…，x_n-1，x_n，如果存在一个常数M＞0，使得定义在区间[p，q]上的一个函数m（x），有|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，则称m（x）为区间[p，q]上的有界变差函数，试判断f（x）是否区间[0，3]上的有界变差函数，若是，求出M的最小值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由g（x）的对称轴x=1得g（x）在区间[2，3]上是增函数，得方程组求出a，b即可；
（2）由（1）求出f（x）的表达式，解不等式求出即可；
（3）由f（x）的表达式得f（x）为[0，3]上的单调递增函数，根据有界变差函数的概念求出即可．

解答 解：（1）∵g（x）=a（x-1）²+1+b-a，
又a＞0，∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，
故g（2）=1，g（3）=4，
解得：a=1，b=0．  
（2）由（1）得：g（x）=x²-2x+1，
故f（x）=x²-2|x|+1是偶函数，
∴不等式$f（{log_2}k）＞f（\frac{3}{2}）$可化为|log₂k|＞$\frac{3}{2}$，
解得：k∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪（2$\sqrt{2}$，+∞）．  
（3）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1，x≥1}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜1}\end{array}\right.$，
∴f（x）为[0，1]上单调递减，[1，3]上的单调递增函数，
则对于任意满足1=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=3（n∈N^*，n≥3）的自变量x₀，x₁，x₂，…，x_n，
有f（1）=f（x₀）＜f（x₁）＜f（x₂）＜…＜f（x_n-1）＜f（x_n）=f（3），
∴|f（x₁）-f（x₀）|+|f（x₂）-f（x₁）|+…+|f（x_n）-f（x_n-1）|
=f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）+…+f（x_n）-f（x_n-1）
=f（x_n）-f（x_n-1）
=f（3）-f（1）
=4，
∴存在常数M≥4，使得|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M．  
函数f（x）为区间[0，3]上的有界变差函数．即M的最小值为4．

点评 本题考查函数的性质，导数的应用，函数的单调性，新概念问题，是一道综合题．