Question

4．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，则x+2y的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{MG}$=λ$\overrightarrow{GN}$，从而化简可得$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）-x$\overrightarrow{AB}$=λ（y$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）），从而可得（3x-1）（3y-1）=1，换元3x-1=m，3y-1=n，从而可得x+2y=$\frac{1+m}{3}$+2×$\frac{1+n}{3}$=$\frac{m}{3}$+$\frac{2n}{3}$+1，从而利用基本不等式求最值．

解答 解：∵M，N，G三点共线，
∴$\overrightarrow{MG}$=λ$\overrightarrow{GN}$，
∴$\overrightarrow{AG}$-$\overrightarrow{AM}$=λ（$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AG}$），
∵点G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）-x$\overrightarrow{AB}$=λ（y$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}-x=-\frac{1}{3}λ}\\{\frac{1}{3}=λy-\frac{1}{3}λ}\end{array}\right.$，
解得，（3x-1）（3y-1）=1；
结合图象可知$\frac{1}{2}$≤x≤1，$\frac{1}{2}$≤y≤1；
令3x-1=m，3y-1=n，（$\frac{1}{2}$≤m≤2，$\frac{1}{2}$≤n≤2）；
故mn=1，x=$\frac{1+m}{3}$，y=$\frac{1+n}{3}$；
故x+2y=$\frac{1+m}{3}$+2×$\frac{1+n}{3}$
=$\frac{m}{3}$+$\frac{2n}{3}$+1≥$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{2}$+1，
（当且仅当$\frac{m}{3}$=$\frac{2n}{3}$，即m=$\sqrt{2}$，n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立），
故x+2y的最小值为$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{2}$+1=$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{3}$；
故选C．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．