Question

17．已知g（x）=e^x（cosx+a）（a∈R）是R上的增函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． [$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求函数的导数，要使函数单调递增，则f′（x）≥0立，然后求出实数a的取值范围．

解答 解：因为f（x）=e^x（cosx+a），所以f′（x）=e^x（cosx+a-sinx）．
要使函数单调递增，则f′（x）≥0成立．
即-sinx+a+cosx≥0恒成立．
所以a≥sinx-cosx，
因为sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）
所以-$\sqrt{2}$≤sinx-cosx≤$\sqrt{2}$，
所以a≥$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性，注意当函数单调递增时，f'（x）≥0恒成立．