Question

17．已知函数$f（x）={（\frac{1}{2}）^{mx}}$，m为常数，且函数的图象过点（1，2）
（1）求m的值；
（2）若g（x）=4^x-6，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．

Answer 1

分析 （1）直接将图象所过的点代入函数式解出m的值，进而求出函数解析式；
（2）将2^x看成一个整体，方程就变成一个一元二次方程，再求其根即可．

解答 解：（1）∵函数$f（x）={（\frac{1}{2}）^{mx}}$的图象过点（1，2），
∴${（{\frac{1}{2}}）^m}=2$，解得，m=-1，
∴f（x）=${（{\frac{1}{2}}）^{-x}}={2^x}$；
（2）由g（x）=f（x）得，4^x-6=2^x，
整理得，4^x-2^x-6=0，即（2^x）²-2^x-6=0，
解得，2^x=3，或2^x=-2（舍去），
所以，$x={log_2}^3$，
即满足方程g（x）=f（x）的x的值为：log₂3．

点评 本题主要考查了指数函数的图象和性质，涉及一元二次方程的解法和指数式与对数式的相互转化，属于中档题．