题目内容
4．定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=$\frac{{A{x_0}+B{y_0}+C}}{{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}}$．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；
②若d1=-d2，则直线P1P2与直线l垂直；
③若d1•d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；
④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，
其中所有正确命题的序号是③④．
分析 根据有向距离的定义，及点P（x0，y0）与Ax1+By1+C的符号，分别对直线P1P2与直线l的位置关系进行判断．
解答 解：对于①，若d1-d2=0，则若d1=d2，∴Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，
∴若d1=d2=0时，即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，
则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴①错误．
对于②，由①知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，
但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，
则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴②错误．
对于③，若d1•d2＞0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，
∴点P1，P2分别位于直线l的同侧，∴直线P1P2与直线l相交或平行，∴③正确；
对于④，若d1•d2＜0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＜0，
∴点P1，P2分别位于直线l的两侧，∴直线P1P2与直线l相交，∴④正确．
故答案为：③④．
点评 本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．
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