Question

19．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{a^3}{6}$
• B． $\frac{a^3}{12}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}{a^3}}}{12}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}{a^3}}}{12}$

Answer 1

分析 三棱锥B-ACD是一个正四面体．过B点作BO⊥底面ACD，则点O是底面的中心，由勾股定理求出BO，由此能求出三棱锥D-ABC的体积．

解答 解：∵边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，
∴由题意可得：三棱锥B-ACD是一个正四面体．如图所示：
过B点作BO⊥底面ACD，垂足为O，
则点O是底面的中心，
AO=$\frac{2}{3}×\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．
在Rt△ABO中，
由勾股定理得BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
∴三棱锥D-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ACD}×BO$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{12}$．
故选：D．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．