Question

17．如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PBD；
（Ⅱ）求二面角C-PB-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过P作PO⊥面ABCD于O，连结OA，推导出面PBD⊥面ABCD，CD⊥DB，由此能证明CD⊥面PBD．
（Ⅱ）推导出CD⊥面PBD，DP⊥BP，由三垂线定理知CP⊥PB，从而∠CPD为二面角C-PB-D的平面角，由此能求出二面角C-PB-D的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）过P作PO⊥面ABCD于O，连结OA，
依题意PA=PB=PD，则OA=OB=OD，
又△ABD为Rt△ABD，
∴O为BD的中点，
∵PO?面PBD，∴面PBD⊥面ABCD，
在梯形ABCD中，CD²+DB²=CB²，
∴CD⊥DB，
∵面ABCD∩面PBD=BD，
∴CD⊥面PBD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD⊥面PBD，
又DP²+PB²=DB²，
∴DP⊥BP，
由三垂线定理知CP⊥PB，
∴∠CPD为二面角C-PB-D的平面角，
∴cos$∠CPD=\frac{PD}{PC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角C-PB-D的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向空间思维能力的培养．