Question

6．已知直线2x-y+m=0和圆O：x²+y²=5，
（1）m为何值时，没有公共点；
（2）m为何值时，截得的弦长为2；
（3）若直线和圆交于A、B两点，此时OA⊥OB，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出圆心到直线2x-y+m=0的距离，利用直线与圆无公共点，可得d＞r，即可得出结论；
（2）由平面几何垂径定理知r²-d²=1²，即可得出结论；
（3）由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，即可得出结论．

解答 解：（1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=$\sqrt{5}$，圆心到直线2x-y+m=0的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$，
∵直线与圆无公共点，∴d＞r，即$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$＞$\sqrt{5}$，
∴m＞5或m＜-5．
故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点．
（2）由平面几何垂径定理知r²-d²=1²，即5-$\frac{{m}^{2}}{5}$=1．
得m=±2$\sqrt{5}$，
∴当m=±2$\sqrt{5}$时，直线被圆截得的弦长为2．
（3）由于交点处两条半径互相垂直，
∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{5}$，
解得m=±$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故当m=±$\frac{5\sqrt{2}}{2}$时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．