Question

已知f（x）=log₂

1-x

1+x

．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可得到结论．
（2）根据函数单调性的定义即可得到结论．

解答： 解：（1）若f(x)=log2

1-x

1+x

有意义，则

1-x

1+x

＞0，解得定义域为（-1，1），关于原点对称．
又因为f(-x)=log2

1+x

1-x

=-log2

1-x

1+x

=-f(x)，
所以f（x）为奇函数．
（2）函数f（x）在定义域（-1，1）上单调递减．
证明：任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=log2

1-x1

1+x1

-log2

1-x2

1+x2

=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

，
因为x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，所以

1+x2

1+x1

＞1，

1-x1

1-x2

＞1，

(1+x2)(1-x1)

(1+x1)(1-x2)

＞1，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在区间（-1，1）上为减函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键．