Question

6．已知有相同的两个焦点F₁，F₂的椭圆$\frac{x^2}{m}+{y^2}$=1（m＞1）和双曲线$\frac{x^2}{n}-3{y^2}$=1（n＞0），P是它们的一个交点，则∠F₁PF₂=（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 利用椭圆、双曲线的定义确定焦半径之间的关系，再利用两曲线有相同的焦点，确定m，n的关系，从而可确定∠F₁PF₂的大小．

解答 解：由题意，不妨设P是双曲线右支上的一点，|PF₁|=x，|PF₂|=y，则x+y=2$\sqrt{m}$，x-y=2$\sqrt{n}$，
x=$\sqrt{m}+\sqrt{n}$，y=$\sqrt{m}-\sqrt{n}$
∴x²+y²=2（m+n）
∵两曲线有相同的焦点
∴m-1=n+$\frac{1}{3}$
∴m=n+$\frac{4}{3}$．
∴x²+y²=4（n+$\frac{2}{3}$），|F₁F₂|²=4（n+$\frac{1}{3}$），
由余弦定理可得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂
∴4（n+$\frac{1}{3}$）=2m+2n-2（m-n）cos∠F₁PF₂
即：4n+$\frac{4}{3}$=4n+$\frac{8}{3}$-$\frac{8}{3}$cos∠F₁PF₂
∴cosF₁PF₂=$\frac{1}{2}$．∠F₁PF₂=60°．
故选：B．

点评 本题考查椭圆、双曲线的定义及几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．