Question

13．已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x）+2，且f（x）-2019为奇函数，则不等式f（x）-2017e^x＜2的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． $（-∞，\frac{1}{e^2}）$
• D． $（\frac{1}{e^2}，+∞）$

Answer 1

分析 令2017g（x）=$\frac{f（x）-2}{{e}^{x}}$，（x∈R），从而求导g′（x）＜0，从而可判断y=g（x）单调递减，再由奇函数的性质可得，f（0）=2019，从而可得到不等式的解集．

解答 解：设2017g（x）=$\frac{f（x）-2}{{e}^{x}}$，由f（x）＞f′（x）+2，
得：g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）+2}{{e}^{x}}$＜0，
故函数g（x）在R递减，
由f（x）-2019为奇函数，得f（0）=2019，
∴2017g（0）=f（0）-2=2017，即g（0）=1，
∵不等式f（x）-2017e^x＜2，
∴$\frac{f（x）-2}{{e}^{x}}$＜2017，即2017g（x）＜2017g（0），
即有g（x）＜g（0），
结合函数的单调性得：x＞0，
故不等式f（x）-2017e^x＜2的解集是（0，+∞），
故选：B．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．