Question

9．已知函数f（x）=log₂（2^x+1）-$\frac{1}{2}$x．
（Ⅰ）求证：函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）求证：对x∈R，f（x）≥1恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（Ⅱ）将f（x）变形，结合不等式的性质求出f（x）的最小值，即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是R，
∵f（-x）=log₂（2^-x+1）+$\frac{1}{2}$x=log₂（2^x+1）-x+$\frac{1}{2}$x=log₂（2^x+1）-$\frac{1}{2}$x=f（x），
故函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）f（x）=log₂（2^x+1）-$\frac{1}{2}$x
=log₂（2^x+1）-log₂$\sqrt{{2}^{x}}$
=log₂（$\sqrt{{2}^{x}}$+$\frac{1}{\sqrt{{2}^{x}}}$）
≥log₂2=1，（当且仅当x=0时取“=”），
故原命题得证．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查基本不等式的性质的应用以及转化思想，是一道中档题．