Question

已知三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2

6

，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离,球

分析：根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，设内切球的球心为O'，半径为r，连接三棱锥的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等，然后根据等积法计算得到半径r，再由球的表面积公式计算即可得到．

解答： 解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，设棱长为a，
PD=

3

2

a，OD=

3

6

a，OP=

PD2-OD2

=

6

3

a．
则OD+PD=

3

6

a+

3

2

a=

2 3

3

a=2

6

⇒a=3

2

，
V_棱锥=

1

3

×

3

4

a²×

6

3

a=9，
设内切球的球心为O'，半径为r，
连接三棱锥的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等，
即为4×

1

3

×

3

4

a²r=

3

3

×18r=6

3

r．
由等积法，可得，9=6

3

r，
解得，r=

3

2

．
则内切球的表面积为S=4πr²=3π．
故答案为：3π．

点评：本题主要考查球的表面积的求法，考查等积法的运用，考查三棱锥的体积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．