Question

已知，函数f（x）=

x+1

e2x

．
（1）如果x≥0时，f（x）≤

m

x+1

恒成立，求m的取值范围；
（2）当a≤2时，求证：f（x）ln（2x+a）＜x+1．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据条件化简f（x）≤

m

x+1

得m≥

(x+1)2

e2x

＞0，转化为

m

≥

x+1

ex

，令g(x)=

x+1

ex

 （x≥0）利用导数求出其最大值，即可确定m的取值范围；
（2）利用分析法，要证f（x）ln（2x+a）＜x+1可转化为证

x+1

e2x

ln(2x+a)＜x+1，由a≤2得只需证h（t）=e^t-ln（t+2）＞0，（t=2x＞-2）即可，利用导数求出h（t）的最小值大于0即可得证．

解答： 解：（1）∵x≥0，f(x)≤

m

x+1

，
∴m≥

(x+1)2

e2x

＞0，
∴

m

≥

x+1

ex

．
令g(x)=

x+1

ex

 （x≥0），
∵g′(x)=

-x

ex

≤0，
∴g（x）递减，
∴g（x）_max=g（0）=1，
∴m的取值范围是[1，+∞）
（2）证明：当a≤2时，
p（x）=f（x）ln（2x+a）-（x+1）的定义域(-

a

2

，+∞)⊆(-1，+∞)，
∴x+1＞0，
要证

x+1

e2x

ln(2x+a)＜x+1，
只需证ln（2x+a）＜e^2x，
又∵a≤2，
∴只需证ln（2x+2）＜e^2x，
即证h（t）=e^t-ln（t+2）＞0，（t=2x＞-2）
∵h′(x)=et-

1

t+2

（t＞2）递增，
h′(-1)=

1

e

-1＜0，h′(0)=1-

1

2

＞0，
∴必有t₀∈（-1，0），使h′（t₀）=0，
即et0=

1

t0+2

，
即t₀=-ln（t₀+2），
且在（-2，t₀）上，h′（t）＜0；
在（t₀，+∞）上，h′（t）＞0，
∴h(t)min=et0-ln(t+2)
=

1

t0+2

+t0
=

(t0+1)2

t0+2

＞0，
∴h（t）=e^t-ln（t+2）＞0，
即f（x）ln（2x+a）＜x+1．

点评：本题考查导数在研究函数单调性和最值中的应用，属于难题．