Question

已知抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由点R（1，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂y₂），设直线AB的方程为x=m（y-1）+1，m≠0，设直线AR的方程为y=k₁（x-1）+2，由已知条件推导出x_M=-

2

y1

，x_N=-

2

y2

，由此求出|MN|=2

5

m2-m+1

|m-1|

，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵点R（1，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，
∴4=2p，解得p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂y₂），直线AB的方程为x=m（y-1）+1，m≠0，
由

x=m(y-1)+1 y2=4x

，消去x，并整理，得：y²-4my+4（m-1）=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=4（m-1），
设直线AR的方程为y=k₁（x-1）+2，
由

y=k1(x-1)+2 y=2x+2

，解得点M的横坐标xM=

k1

k2-2

，
又k1=

y1-2

x1-1

=

y1-2

y12 4 -1

=

4

y1+2

，
∴x_M=

k1

k1-2

=-

2

y1

，
同理点N的横坐标x_N=-

2

y2

，
|y₂-y₁|=

(y2+y1)2-4y1y2

=4

m2-m+1

，
∴|MN|=

5

|x_M-x_N|=

5

|-

2

y1

+

2

y2

|=2

5

|

y2-y1

y1y2

|，
=8

5

m2-m+1

4|m-1|

=2

5

m2-m+1

|m-1|

，
令m-1=t，t≠0，则m=t=1，
∴|MN|=2

5

( 1 t + 1 2 )2+ 3 4

≥

15

，
即当t=-2，m=-1时，|MN|取最小值为

15

，
此时直线AB的方程为x+y-2=0．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查线段的最小值的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．