Question

已知函数f （x）=a[lnx-ln（1-x）]-2x（ 0＜x＜1 ）．
（Ⅰ）若函数f （x）是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求f （x）=0在区间（0，1）内的根的个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的单调性

专题：方程思想,函数的性质及应用

分析：（1）f′（x）=a(

1

x

+

1

1-x

)-2=

a

x(1-x)

-2(0＜x＜1)． 利用不等式，判断单调性求解，
（2）分类讨论根据单调性，判断函数零点，方程的根的情况，当a=0时，f （x）=?2x在区间（0，1）内无根．当a?≥

1

2

时f （x）=0在区间（0，1）内有一个根，当0＜a＜

1

2

时故f （x）=0在区间（0，x₂）内无实根．总结即可．

解答： 解：（Ⅰ）：f′（x）=a(

1

x

+

1

1-x

)-2=

a

x(1-x)

-2(0＜x＜1)．      
f （x）为增函数时，f′（x）≥0，
即a≥2x（1-x），
因为2x（1-x） 的值域为（0，

1

2

]，故a≥

1

2

；                   
f （x）为减函数时，f′（x）≤0，
即a≤2x（1-x），
因为2x（1-x） 的值域为（0，

1

2

]，故a≤0．
综上：a的取值范围是a≤0或a≥

1

2

．                       
（Ⅱ）当a＜0时，函数f （x）为减函数，x→0时，f （x）→+∞，x→1时，f （x）→-∞，
f （x）=0在区间（0，1）内有一个根．                         
当a=0时，f （x）=?2x在区间（0，1）内无根．              
当a?≥

1

2

时，函数f （x）为增函数，x→0时，f （x）→-∞，x→1时，f （x）→+∞，
f （x）=0在区间（0，1）内有一个根．                        
当0＜a＜

1

2

时，f′(x)=

2x2-2x+a

x(1-x)

，
由f'（x）=0，可知：x1=

1- 1-2a

2

，x2=

1+ 1-2a

2

．                  
因为0＜a＜

1

2

，
故0＜x1＜

1

2

，

1

2

＜x2＜1，从而

x1

1-x1

=

x1

x2

∈(0，1)．
0＜x＜x₁或x₂＜x＜1时，f'（x）＞0，
故函数f （x）在区间（0，x₁）及（x₂，1）上为增函数，
类似地函数f （x）在区间（x₁，x₂）上为减函数．                  
x∈（0，x₂]时，f （x）≤f （x₁）=aln

x1

1-x1

?2x₁＜aln

x1

1-x1

＜0，
故f （x）=0在区间（0，x₂）内无实根．                            
又f （x₂）＜f （x₁）＜0，x→1时，f （x）→+∞，函数f （x）在区间（x₂，1）上为增函数，
故f （x）=0在区间（x₂，1）内有一根．
综上所述，a≠0时，f （x）=0在区间（0，1）内的根的个数为1．
a=0时，f （x）=0在区间（0，1）内的根的个数为0．

点评：本题综合查了函数的单调性，函数的零点的判断方法，分类讨论求解，属于难题．