Question

16．已知圆C：（x-1）²+y²=16，F（-1，0），M是圆C上的一个动点，线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记点P的轨迹为C₁，A、B是直线x=-2上的两点，满足AF⊥BF，曲线C₁与过A，B的两条切线（异于x=-2）交于点Q，求四边形AQBF面积的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用中垂线的性质得出|PF|+|PC|=4，于是P点轨迹为椭圆，根据椭圆定义得出椭圆方程；
（II）设AF的斜率为k，用k表示出A，B的坐标，设过A点的切线斜率为k₁，联立方程组得出k₁和k的关系，同理得出过B点的切线方程，再联立方程组得出Q点坐标，得出四边形面积关于k的解析式，利用不等式得出面积的范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意得圆心C（0，1），半径r=4，
∵线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P，
∴|PF|+|PC|=|PM|+|PC|=CM=4＞|CF|=2．
∴点P的轨迹方程是以C，F为焦点，长轴长为4的椭圆，
即a=2，c=1，则b=2²-1=3，
∴P的轨迹方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）依题意，直线AF斜率存在且不为零，设为y=k（x+1），
令x=-2得A（-2，-k），同理B（-2，$\frac{1}{k}$）．
设过点A的切线为y=k₁（x+2）-k，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
得$（3+4{k_1}^2）{x^2}+8{k_1}（2{k_1}$$-k）x+4{（2{k_1}-k）^2}-12=0$x+4[（2k₁-k）²-3]=0．
由$△=64{k_1}^2{（2{k_1}-k）^2}-16（3+4{k_1}^2）$$[{{{（2{k_1}-k）}^2}-3}]=0$，解得${k_1}=\frac{{{k^2}-3}}{4k}$，
同理k₂=$\frac{（-\frac{1}{k}）^{2}-3}{4•（-\frac{1}{k}）}$=$\frac{{3{k^2}-1}}{4k}$．
联立方程组：$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{{{k^2}-3}}{4k}（x+2）-k}\\{y=\frac{{3{k^2}-1}}{4k}（x+2）+\frac{1}{k}}\end{array}}\right.$，解得x=-4．
∴${S_{AQBF}}=\frac{1}{2}|{AB}||{{x_F}-{x_Q}}|$=$\frac{3}{2}|{k+\frac{1}{k}}|≥3$，当且仅当k=±1时等号成立，
∴四边形AQBF面积的取值范围是[3，+∞）．

点评 本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．