题目内容
18．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）+xf′（x）＜xf（x）对x∈R恒成立，则（ ）| A． | 3f（3）＞2ef（2） | B． | 3f（3）＜2ef（2） | C． | f（2）＞0 | D． | f（-2）＞0 |
分析 构造g（x）=$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$，利用导数的运算法则及其已知可得：g′（x）=$\frac{f（x）+x{f}^{′}（x）-xf（x）}{{e}^{x}}$＜0，即可得出．
解答 解：构造g（x）=$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f（x）+x{f}^{′}（x）-xf（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴函数g（x）在R上单调递减．
∴$\frac{3f（3）}{{e}^{3}}$＜$\frac{2f（2）}{{e}^{2}}$，
∴3f（3）＜2ef（2），
故选：B．
点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、构造法、不等式的性质与解法，充分根据已知构造函数是解题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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| A． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | -$\frac{1}{2}$ |
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| A． | {-2，-1，1，2} | B． | {-1，1} | C． | {2} | D． | {1} |