Question

已知函数f（x）=x²-ax+2，g（x）=aln（x-1）-2a+6（a为常数），
（1）当x∈[2，+∞）时f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数h（x）=xf（x）有对称中心为A（1，0），求证：函数h（x）的切线L在切点处穿过h（x）图象的充要条件是L恰为函数在点A处的切线．（直线穿过曲线是指：直线与曲线有交点，且在交点左右附近曲线在直线异侧）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）设F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax+2a-4-aln（x-1），则问题转化为F（x）_min≥0，求导数F′(x)=2x-a-

a

x-1

=

x[2x-(a+2)]

x-1

，令：F′(x)=0得：x=0，x=1+

a

2

，按照极值点1+

a

2

在区间[2，+∞）左侧、内部两种情况讨论可求得函数最小值；
（2）由h（x）关于（1，0）对称知h（x+1）为奇函数，则h（1）=0，从而可求得a，证明充分性：求出点A处切线L的方程y=1-x，构造函数t（x）=h（x）-（1-x）=x³-3x²+3x-1，只需说明1为t（x）的零点，且在1左右两侧函数值异号即可；证明必要性：若L是函数h（x）图象在B（m，h（m））处的切线，则L方程：y=h′（m）（x-m）+h（m），构造函数G（x）=h（x）-h′（m）（x-m）-h（m），
只需说明B点即为A点即可，利用导数通过对极值点的分类讨论可得；

解答： 解：（1）设F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax+2a-4-aln（x-1），
∴F′(x)=2x-a-

a

x-1

=

x[2x-(a+2)]

x-1

，
令：F′(x)=0得：x=0，x=1+

a

2

，
∴当1+

a

2

≤2即a≤2时，F′（x）≥0，F（x）在x∈[2，+∞）是增函数，F（x）最小值为F（2）=0，满足．
当1+

a

2

＞2即a＞2时，2＜x＜1+

a

2

时，F′（x）＜0，x＞1+

a

2

时，F′（x）＞0，
∴F（x）在区间（2，1+

a

2

）上为减函数，在区间（1+

a

2

，+∞）上为增函数，
∴F（x）最小值F(1+

a

2

)＜F(2)=0，故不合题意．
∴实数a的取值范围是：a≤2；
（2）∵h（x）=xf（x），关于A（1，0）对称，则h（x+1）是奇函数，∴h（1）=0，可得a=3，
∴h（x）=x³-3x²+2x，则h′（x）=3x²-6x+2，
若L为A点处的切线，则切线L的斜率为h'（1）=-1，由点斜式可得其方程为：y=1-x，
令t（x）=h（x）-（1-x）=x³-3x²+3x-1，t′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
∴t（x）为增函数，而t（1）=0，∴直线L穿过函数h（x）的图象．
若L是函数h（x）图象在B（m，h（m））处的切线，则L方程：y=h′（m）（x-m）+h（m），
设G（x）=h（x）-h′（m）（x-m）-h（m），
则G′（x）=h′（x）-h′（m）=3x²-6x+2-3m²+6m-2=3（x-m）（x+m-2），
令G′（x）=0得：x=m，x=2-m，
当m＜2-m，即m＜1时：x∈（-∞，m）时，G′（x）＞0，则G（x）在区间（-∞，m）为增函数，
x∈（m，2-m）时，G′（x）＜0，则G（x）在区间（m，2-m）为减函数，
从而G（x）在x=m处取得极大值，而G（m）=0，
则当x∈（-∞，2-m）时，G（x）≤0，∴h（x）图象在直线L的同侧，
∴L不能在B（m，h（m））穿过函数h（x）图象，
∴m＜1不合题意；
同理可证m＞1也不合题意．
∴m=1（前面已证），故B即为A点．、
∴原命题成立．

点评：本题考查函数恒成立、函数图象的对称性等问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，本题综合性较强，能力要求较高．