Question

4．已知函数f（x）=x²-x+c
（1）求f（x）在[0，1]的最大值和最小值；
（2）求证：对任意x₁，x₂∈[0，1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{4}$；
（3）若函数y=f（x）在区间[0，2]上有2个零点，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函数f（x）=x²-x+c的图象的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，分析函数单调性，进而可得f（x）在[0，1]的最大值和最小值；
（2）由（1）可得|f（x₁）-f（x₂）|≤c-（c-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$；
（3）若函数y=f（x）在区间[0，2]上有2个零点，即图象与x轴有两个交点，则$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ f（0）≥0\\ f（2）≥0\end{array}\right.$，进而求出实数c的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-x+c的图象的对称轴为x=$\frac{1}{2}$…..（1分）
f（x）在[0，$\frac{1}{2}$]上是减函数，在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函数…（2分）
∴当x=0，或x=1时，函数取最大值c；…（4分）
当x=$\frac{1}{2}$时，函数取最小值c-$\frac{1}{4}$…．（6分）
（2）对任意设0≤x₁＜x₂≤1，
总有c-$\frac{1}{4}$≤f（x₁）≤c，c-$\frac{1}{4}$≤f（x₂）≤c，
|f（x₁）-f（x₂）|≤c-（c-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
即|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{1}{4}$…．（10分）
（3）∵函数y=f（x）在区间[0，2]上有2个零点，
即图象与x轴有两个交点，
则$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ f（0）≥0\\ f（2）≥0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}1-4c＞0\\ c≥0\\ 2+c≥0\end{array}\right.$，
解得：0≤c＜$\frac{1}{4}$…．（14分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，函数的最值，难度中档．