Question

2．求和：S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 利用条件计算S₁，S₂，S₃，由此推测S_n的计算公式；利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：S₁=$\frac{1}{3}$，S₂=$\frac{2}{5}$，S₃=$\frac{3}{7}$
猜想：S_n=$\frac{n}{2n+1}$．
①n=1时，S₁成立；
②假设n=k时，猜想成立，即S_k=$\frac{k}{2k+1}$，
则n=k+1时，S_k+1=$\frac{k}{2k+1}$+$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
∴n=k+1时猜想也成立
根据①②可知猜想对任何n∈N^*都成立

点评 本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．