Question

1．若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0则$\frac{f（x）+f（-x）}{x}$＜0的解集为（　　）

• A． （-3，3）
• B． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• C． （-3，0）∪（3，+∞）
• D． （-∞，-3）∪（0，+3）

Answer 1

分析 根据题意和偶函数的性质画出符合条件的图象，利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．

解答 解：由题意画出符合条件的函数图象：
∵函数y=f（x）为偶函数，
∴$\frac{f（x）+f（-x）}{x}$＜0转化为xf（x）＜0，
由图得，
当x＞0时，f（x）＜0，则x＞3；
当x＜0时，f（x）＞0，则-3＜x＜0；
综上得，$\frac{f（x）+f（-x）}{x}$＜0的解集是：
（-3，0）∪（3，+∞），
故选C．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．