Question

已知函数f（x）=sinx-

3

cosx，若f（x₁）•f（x₂）=-4，则|x₁+x₂|的最小值为（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  π

  2

• C、

  2

  3

  π
• D、

  4

  3

  π

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（x-

π

3

），依题意知2sin（x₁-

π

3

）•sin（x₂-

π

3

）=-2，利用积化和差公式可得cos（x₁-x₂）-cos（x₁+x₂-

2π

3

）=2，从而可得cos（x₁+x₂-

2π

3

）=-1，于是可求|x₁+x₂|的最小值．

解答：解：∵f（x）=sinx-

3

cosx=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）=2sin（x-

π

3

），
又f（x₁）•f（x₂）=-4，
即2sin（x₁-

π

3

）•2sin（x₂-

π

3

）=-4，
∴2sin（x₁-

π

3

）•sin（x₂-

π

3

）=-2，
cos（x₁-x₂）-cos（x₁+x₂-

2π

3

）=-2，
∴cos（x₁-x₂）=-1，cos（x₁+x₂-

2π

3

）=1，
∴x₁-x₂=2mπ+π，x₁+x₂-

2π

3

=2nπ，m，n∈Z．
∴x₁+x₂=2nπ+

2π

3

（n∈Z），
显然，当n=0时，|x₁+x₂|的最小值为

2π

3

，
故选：C．

点评：本题考查三角恒等变换的应用，着重考查积化和差公式与余弦函数性质的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．