Question

若定义在R上的偶函数y=f（x）是[0，+∞）上的递增函数，则不等式f（log₂x）＜f（-1）的解集是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，2）
• B、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• C、R
• D、（-2，2）

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，所以在[0，+∞）上单调递增，则在对称区间（-∞，0）上单调递减．所以f（-1）=f（1），所以讨论log₂x在区间[0，+∞）和（-∞，0）两种情况，所以log₂x≥0即x≥1时，为了用上函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增的条件，将原不等式变成，f（log₂x）＜f（1），根据单调性，所以得到log₂x＜1，x＜2，所以1≤x＜2，同样的办法，求出log₂x＜0时的原不等式的解，这两种情况所得的解求并集即可．

解答：解：根据已知条件知：y=f（x）在（-∞，0）是减函数，f（-1）=f（1）；
∴①若log₂x≥0，即x≥1，由原不等式得：f（log₂x）＜f（1）；
∴log₂x＜1，x＜2；
∴1≤x＜2；
②若log₂x＜0，即0＜x＜1，f（log₂x）＜f（-1）；
∴log₂x＞-1，x＞

1

2

；
∴

1

2

＜x＜1；
综上得原不等式的解集为(

1

2

，2)．
故选A．

点评：考查偶函数的概念，偶函数在对称区间上的单调性的特点，以及对数函数的单调性．