Question

函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，ω∈Z，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（

3π

4

，0）对称，且在[0，

π

2

]上是单调函数．
（1）求ω和φ的值；
（2）求这个函数的单调增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由f（x）为偶函数，求得φ=

π

2

．由图象关于M（

3π

4

，0）对称，可得cos

3πω

4

=0，求得ω=

2

3

（2k+1），k∈z．再根据f（x）在[0，

π

2

]上是单调函数，可得ω≤2，从而求得ω和φ的值．
（2）由函数f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x，令2π-π≤2x≤2kπ，求得x的范围，可得函数的单调增区间．

解答： 解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（0）=sinφ=±1，∵0≤φ≤π，∴φ=

π

2

．
又∵图象关于M（

3π

4

，0）对称，∴cos

3πω

4

=0，∴

3πω

4

=kπ+

π

2

，k∈z，
∴ω=

2

3

（2k+1），k∈z．
又∵f（x）在[0，

π

2

]上是单调函数，∴

2π

ω

≥π，∴ω≤2．
∴当k=1时，ω=2，可得 φ=

π

2

，ω=2．
（2）∵函数f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x．
由2π-π≤2x≤2kπ，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈z，
∴函数的单调增区间[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．

点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，余弦函数的单调性，属于基础题．