Question

已知h（x）=lnx，g（x）=|h（x）|，
（1）写出g（x）的定义域，并作出y=g（x）的简图；
（2）若g（x₁）=g（x₂）（其中0＜x₁＜x₂），求证：x₁•x₂=1，x₁+x₂＞2；
（3）判断f（x）=x-

h(x)

x

是否存在极值？若存在，证明你的结论并求出所有极值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数的定义域及其求法

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数的表达式直接写出即可，
（2）由图知0＜x₁＜1＜x₂，由|lnx₁|=|lnx₂|⇒-lnx₁=lnx₂，x1+x2=x1+

1

x1

＞2

x1• 1 x1

即x1+x2＞2，从而问题得证；
（3）由题意求出函数f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，从而求出函数f（x）有1个极小值，求出即可．

解答： 解：（1）g（x）的定义域为（0，+∞），图象如图示：
；

（2）由图知0＜x₁＜1＜x₂，
∴lnx₁＜0，lnx₂＞0，
∴g（x₁）=g（x₂）
即|lnx₁|=|lnx₂|⇒-lnx₁=lnx₂
⇒lnx₁+lnx₂=0⇒x₁•x₂=1，
∴x1+x2=x1+

1

x1

＞2

x1• 1 x1

即x1+x2＞2；
（3）∵f（x）=x-

h(x)

x

，
∴f′（x）=

x2+lnx-1

x2

，
经观察得f′（x）=0，得x=1，
令g（x）=x²+lnx-1，则：g′（x）=2x+

1

x

，
当x＞0时，g′（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）递增，
∴f′（x）=0有唯一的根x=1，
当x∈（0，1）时，f′（x）=

g(x)

x2

＜

g(1)

x2

=0，
∴f（x）在（0，1）递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）=

g(x)

x2

＞

g(1)

x2

=0，
∴f（x）在（1，+∞）递增，
∴x=1是f（x）的唯一极小值点，
极小值是f（1）=1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，等式及不等式的证明问题，本题属于综合题．