Question

已知

m

=（-x+lnx，1），

n

=（a，-3）（a∈R且a≠0），函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率为l，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？
（3）当a=2时，设函数h（x）=（p-2）x-

p+2e

x

-3，若在区间[1，e]上至少存在一个x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，试求实数p的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,平面向量数量积的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数表达式，再求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出a的值，由题意得不等式组，解出即可；
（3）由h（x₀）＞f（x₀），令F（x）=h（x₀）-f（x₀），通过求导求出p的范围．

解答： 解：（1）由题意知f（x）=alnx-ax-3（a∈R，a≠0）定义域为（0，+∞），
则f′(x)=

a(1-x)

x

，
∴当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）．
（2）由f′（2）=-

a

2

=1得a=-2，
∴f(x)=-2lnx+2x-3，f′(x)=2-

2

x

，
∴g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]=x3+(2+

m

2

)x2-2x，
∴g'（x）=3x²+（4+m）x-2
∵函数g（x）在区间（t，3）上总存在极值，
∴g′（x）=0有两个不等实根且至少有一个在区间（t，3）内，
又∵函数g′（x）是开口向上的二次函数，且g′（0）=-2＜0，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，
由g′（t）＜0得m＜

2

t

-3t-4，
∵H（t）=

2

t

-3t-4在[1，2]上单调递减，
所以H（t）_min=H（2）=-9；∴m＜-9，
由g′（3）=27+3（4+m）-2＞0，
解得m＞-

37

3

；
综上得：-

37

3

＜m＜-9，
 所以当m在（-

37

3

，-9）内取值时，对于任意t∈[1，2]，
函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]，在区间（t，3）上总存在极值．
（3）∵a=2，∴f（x）=2lnx-2x-3令F（x）=h（x）-f（x），
则F（x）=（p-2）x-

p+2e

x

-3-2lnx+3=px-

p

x

-

2e

x

-2lnx．
当p≤0时，由x∈[1，e]得px-

p

x

≤0，-

2e

x

-2lnx＜0，从而F（x）＜0，
所以，在[1，e]上不存在x₀使得h（x₀）＞f（x₀）；               
当p＞0时，F′（x）=

px2-2x+p+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，px²+p＞0，
F′（x）＞0在[1，e]上恒成立，
故F（x）在[1，e]上单调递增．
∴F（x）_max=F（e）=pe-

p

e

-4，
故只要pe-

p

e

-4＞0，解得p＞

4e

e2-1

，
综上所述，p的取值范围是（

4e

e2-1

，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查求参数的范围问题，向量的数量积的运算，是一道综合题．