Question

质检大队对某超市一项产品进行检验，该产品成箱包装，每箱5件．抽检人员前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的三箱中分别有1件、l件、2件二等品，其余为一等品．
（1）求抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品的概率；
（2）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）先求出抽检的6件产品没有二等品的概率和抽检的6件产品有一件二等品的概率，由此利用对立事件能求出抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品的概率．
（2）由已知得随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分虽求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）抽检的6件产品没有二等品的概率是：
P1=

C 2 4

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

×

C 2 3

C 2 5

=

27

250

，
抽检的6件产品有一件二等品的概率是：
P2=

C 2 4

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

×

C 1 3 C 1 2

C 2 5

+2×

C 1 4

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

×

C 2 3

C 2 5

=

9

25

，
所以抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品的概率：
P=1-

27

250

-

9

25

=

133

250

．
（2）由已知得随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P(ξ=0)=P1=

27

250

，
P(ξ=1)=P2=

9

25

，
P(ξ=2)=

C 1 4 C 1 4 C 2 3

( C 2 5 )3

+

2 C 2 4 C 1 4 C 1 3 C 1 2

( C 2 5 )3

+

C 2 4 C 2 4 C 2 2

( C 2 5 )3

=

93

250

，
P(ξ=3)=

2 C 2 4 C 1 4 C 2 2

( C 2 5 )3

+

C 1 4 C 1 4 C 1 3 C 1 2

( C 2 5 )3

=

18

125

，
P(ξ=4)=

C 1 4 C 1 4 C 2 2

( C 2 5 )3

=

2

125

，
随机变量ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3	4
P	27 250	9 25	93 250	18 125	2 125

随机变量ξ的数学期望Eξ=0×

27

250

+1×

9

25

+2×

93

250

+3×

18

125

+4×

2

125

=

8

5

．

点评：本题考查对立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．