题目内容
在锐角三角形ABC中，求证：cos（B-C）•cos（C-A）•cos（A-B）≥8cosA•cosB•cosC．
考点：两角和与差的余弦函数
专题：解三角形
分析：由三角形中恒等式tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC，令x=2tanA+tanB+tanC，y=tanA+2tanB+tanC，z=2tanC+tanA+tanB，可得
=
；
=
；
=
，可证明（x+y-z）（y+z-x）（z+x-y）≤xyz成立，即可证明cos（B-C）•cos（C-A）•cos（A-B）≥8cosA•cosB•cosC成立．
| cos(B-C) |
| cosA |
| 2x |
| y+z-x |
| cos(C-A) |
| cosB |
| 2y |
| z+x-y |
| cos(A-B) |
| cosC |
| 2z |
| x+y-z |
解答：
证明：在三角形中有恒等式：tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC
所以：
=
=
=
=
；
同理：
=
；
=
，
令x=2tanA+tanB+tanC，y=tanA+2tanB+tanC，z=2tanC+tanA+tanB，
则：
=
；
=
；
=
，
于是：
=
，
因为：x+y-z＞0，y+z-x＞0，z+x-y＞0，
所以：
≤
-y
≤
≤x
以上式子相乘，有（x+y-z）（y+z-x）（z+x-y）≤xyz成立，
从而cos（B-C）•cos（C-A）•cos（A-B）≥8cosA•cosB•cosC成立．
当且仅当△ABC为正三角形时取等号．
所以：
| cos(B-C) |
| cosA |
| sinBsinC+cosBcosC |
| sinBsinC-cosBcosC |
| tanBtanC+1 |
| tanBtanC-1 |
| tanAtanBtanC+tanA |
| tanAtanBtanC-tanC |
| 2tanA+tanB+tanC |
| tanB+tanC |
同理：
| cos(C-A) |
| cosB |
| tanA+2tanB+tanC |
| tanA+tanC |
| cos(A-B) |
| cosC |
| tanA+tanB+2tanC |
| tanA+tanB |
令x=2tanA+tanB+tanC，y=tanA+2tanB+tanC，z=2tanC+tanA+tanB，
则：
| cos(B-C) |
| cosA |
| 2x |
| y+z-x |
| cos(C-A) |
| cosB |
| 2y |
| z+x-y |
| cos(A-B) |
| cosC |
| 2z |
| x+y-z |
于是：
| cos(A-B)•cos(B-C)•cos(C-A) |
| cosA•cosB•cosC |
| 8xyz |
| (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) |
因为：x+y-z＞0，y+z-x＞0，z+x-y＞0，
所以：
| (x+y-z)(y+z-x) |
| x+y-z+y+z-x |
| 2 |
| (y+z-x)(z+x-y) |
| (z+x-y)(x+y-z) |
以上式子相乘，有（x+y-z）（y+z-x）（z+x-y）≤xyz成立，
从而cos（B-C）•cos（C-A）•cos（A-B）≥8cosA•cosB•cosC成立．
当且仅当△ABC为正三角形时取等号．
点评：本题主要考察了三角函数恒等式的证明，考察了不等式的解法，利用结论tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC是解题的关键，考查了转化思想，综合性强，难度较大．
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